线性代数轻松入门 @

什么是线性代数？ @

线性代数其实就是一门"从研究单个数字，扩展到研究一组数字"的数学分支。

举个生活中的例子：如果我们要描述一个人的特征，可能需要身高、体重、年龄等多个数字。这一组相关的数字，在数学中就可以用"向量"来表示。

向量是线性代数里最基础的研究对象，它能帮我们在多个维度上描述和分析事物的属性。

这里有个小知识：向量分"行向量"和"列向量"两种，但在大部分教材和论文里，提到向量时默认指的是列向量。

向量的加法很简单，就是对应位置的数字相加。比如说，有两个向量$(num_1, num_2)$和$(num_3, num_4)$，它们相加的结果就是$(num_1+num_3, num_2+num_4)$。

用生活中的场景来理解：假设你去超市买东西，第一次买了5个苹果和2个香蕉，第二次买了2个苹果和5个香蕉，那么总共就买了7个苹果和7个香蕉。这其实就是向量加法的思想：$(5, 2)^T + (2, 5)^T = (7, 7)^T$。

向量的数量乘法也不难理解，可以看作是"重复相加"的简化形式。比如，如果你每天买3个苹果和2个橘子，那么3天后你总共买了9个苹果和6个橘子，这可以表示为$3 \times (3, 2) = (9, 6)$。

向量的长度在数学中也叫"二范数"，计算方法其实就是我们熟悉的勾股定理。比如，一个二维向量$(a, b)$的长度就是$\sqrt{a^2 + b^2}$。

想象一下，在地图上从原点出发，向东走3步，向北走4步，那么你离原点的直线距离就是5步，这就是向量$(3, 4)$的长度。

单位向量是一种特殊的向量，它的长度始终是1，只用来表示方向。

把任意一个向量转换成单位向量的过程，叫做"归一化"或"规范化"（normalize）。方法很简单，就是用原向量除以它自己的长度。

在二维空间里，有两个非常特殊的单位向量：

像这样只由0和1组成的单位向量，我们称为"标准单位向量"。在n维空间中，一共有n个这样的标准单位向量。

两个向量相乘，结果不是一个新的向量，而是一个普通的数字（标量）。这种乘法在数学中叫做"点乘"或"内积"。

点乘的计算公式有两种：

点乘有个很有用的几何意义：它可以用来判断两个向量的方向关系。如果点乘结果为正，说明两个向量大致同向；如果为负，说明大致反向；如果为0，说明两个向量垂直。