矩阵计算轻松入门 @

什么是矩阵？ @

我们之前学过，向量是单个数字的扩展，可以表示一组相关的数。那矩阵又是什么呢？

其实矩阵是向量的扩展，它可以表示一组向量。简单来说，矩阵就是一个由数字排成的矩形表格。

举个生活中的例子：如果我们想记录三位同学的三次考试成绩，就可以用一个3×3的矩阵来表示：

| 第一次 | 第二次 | 第三次 |
|--------|--------|--------|
| 90     | 85     | 88     |  # 同学1的成绩
| 78     | 82     | 85     |  # 同学2的成绩
| 92     | 95     | 93     |  # 同学3的成绩

特别地，如果一个矩阵的行数和列数相等，我们就称它为"方阵"。比如上面的3×3矩阵就是一个方阵。

矩阵在现实生活中有很多用途，比如在经济系统中，可以用矩阵来表示IT、电子、矿产、房产等不同行业的投入产出关系，帮助分析整个经济系统的运行情况。

矩阵的转置 @

矩阵的转置是一个简单但重要的操作，就是把矩阵的行变成列，列变成行。

比如原矩阵是：

| 1 2 |
| 3 4 |

转置后就变成了：

| 1 3 |
| 2 4 |

矩阵转置的性质 @

矩阵的运算 @

矩阵的加法 @

矩阵的加法很简单，就是把两个形状相同的矩阵对应位置的元素相加。

比如：

| 1 2 |   | 5 6 |   | 6 8 |
| 3 4 | + | 7 8 | = | 10 12 |

矩阵的数量乘法 @

数量乘法也不难理解，就是用一个数字（标量）去乘矩阵的每一个元素。

比如：

2 × | 1 2 | = | 2 4 |
    | 3 4 |   | 6 8 |

矩阵的基本运算性质 @

矩阵的运算有一些基本性质，和我们熟悉的数字运算有些相似：

• 交换律：A + B = B + A
• 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)
• 存在零矩阵O，使得A + O = A
• 存在负矩阵-A，使得A + (-A) = O
• 负矩阵唯一，且-A = -1 × A

矩阵和向量的乘法 @

矩阵和向量相乘时，有个重要的规则：矩阵的列数必须和向量的元素个数一致。

矩阵与向量相乘的结果是一个新的向量，可以理解为矩阵把一个向量"转换"成了另一个向量。所以，矩阵有时也被看作是向量的一种"函数"。

矩阵和矩阵的乘法 @

矩阵和矩阵相乘是矩阵运算中比较复杂但也非常重要的运算。计算时，矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行点乘，得到结果矩阵中的对应元素。

进行矩阵乘法时，有个关键要求：矩阵A的列数必须和矩阵B的行数一致。

需要特别注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，也就是说A×B通常不等于B×A。

矩阵的幂 @

只有方阵（行数等于列数的矩阵）才能进行幂运算。矩阵的幂运算和数字的幂运算类似，表示同一个矩阵相乘多次。

比如，A²表示A×A，A³表示A×A×A，以此类推。