矩阵变换的基本概念 @
矩阵可以看作是一个向量的函数，因此矩阵能够有效地表示各种几何变换。通过不同的矩阵乘法操作，我们可以实现对向量或图形的缩放、旋转、翻转等多种变换效果。
常见的几何变换矩阵 @
1. 缩放变换 @
假设有向量 $(x, y)$，若要将其横坐标扩大a倍，纵坐标扩大b倍，根据矩阵的点乘性质，可以使用以下变换矩阵：
$\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ by \end{bmatrix}$
2. 关于x轴的翻转 @
将图形关于x轴翻转，可以通过点乘以下矩阵实现：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}$
3. 关于y轴的翻转 @
将图形关于y轴翻转，可以通过点乘以下矩阵实现：
$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix}$
4. 关于原点的翻转 @
将图形关于原点翻转，可以通过点乘以下矩阵实现：
$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \\ -y \end{bmatrix}$
5. 沿x方向的错切 @
沿x方向错切变换的矩阵形式如下：
$\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + ky \\ y \end{bmatrix}$
其中，k为错切系数。
6. 沿y方向的错切 @
沿y方向错切变换的矩阵形式如下：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ kx + y \end{bmatrix}$
其中，k为错切系数。
7. 绕原点的旋转变换 @
将图形绕原点逆时针旋转$\theta$角度的变换矩阵如下：
$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{bmatrix}$
单位矩阵 @
如果一个矩阵与另一个矩阵相乘后，矩阵的每一个元素都没有发生变化，则称这个矩阵为单位矩阵，通常记作$I$。
n阶单位矩阵的形式如下：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$
单位矩阵的性质 @
- 单位矩阵的主对角线上的元素全为1，其余元素全为0
- 单位矩阵一定是方阵
- 对于任意矩阵$\boldsymbol{I}_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$，满足 $($$I \cdot A = A$$)$且$($$A \cdot I = A$$)$
矩阵的逆 @
逆矩阵的定义 @
在数字系统中，对于非零数$x$，存在其倒数 $1/x$，使得 $x \cdot (1/x) = 1$。
类似地，在矩阵运算中，设矩阵 $A$和矩阵 $B$，如果满足：
$($$A \cdot B = B \cdot A = I$$)$
则称$B$为$A$的逆矩阵，记作$($$B = A^{-1}$$)$
逆矩阵的性质与推广 @
- 并不是所有矩阵都存在逆矩阵，如果矩阵$A$存在逆矩阵，则称$A$为可逆矩阵或非奇异矩阵(non-singular)；反之，称为不可逆矩阵或奇异矩阵(singular)。
- 对于矩阵$A$，若存在矩阵$B$，使得$B \cdot A = I$，则称$B$是$A$的左逆矩阵；若存在矩阵$C$使得$A \cdot C = I$，则称$C$是$A$的右逆矩阵。
- 如果一个矩阵$A$既存在左逆矩阵$B$，又存在右逆矩阵$C$，则必有$B=C$。
- 若矩阵A存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一。
- 可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆。
- 矩阵的幂运算：$A^0 = I$，$A^{-1}$为$A$的逆矩阵。
- 矩阵的逆的转置等于矩阵的转置的逆，即：$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
单位矩阵的性质 @
- 单位矩阵的主对角线上的元素全为1，其余元素全为0
- 单位矩阵一定是方阵
- 对于任意矩阵$A$，满足$I \cdot A = A$且$A \cdot I = A$
矩阵的逆 @
逆矩阵的定义 @
在数字系统中，对于非零数$x$，存在其倒数$1/x$，使得$x \cdot (1/x) = 1$。
类似地，在矩阵运算中，设矩阵$A$和矩阵$B$，如果满足：
$A \cdot B = B \cdot A = I$
则称$B$为$A$的逆矩阵，记作$B = A^{-1}$
逆矩阵的性质与推广 @
- 并不是所有矩阵都存在逆矩阵。如果矩阵$A$存在逆矩阵，则称$A$为可逆矩阵或非奇异矩阵(non-singular)；反之，称为不可逆矩阵或奇异矩阵(singular)。
- 对于矩阵$A$，若存在矩阵$B$使得$B \cdot A = I$，则称$B$是$A$的左逆矩阵；若存在矩阵$C$使得$A \cdot C = I$，则称$C$是$A$的右逆矩阵。
- 如果一个矩阵$A$既存在左逆矩阵$B$，又存在右逆矩阵$C$，则必有$B = C$。
- 若矩阵$A$存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一。
- 可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆。
- 矩阵的幂运算：$A^0 = I$，$A^{-1}$为$A$的逆矩阵。
- 矩阵的逆的转置等于矩阵的转置的逆，即：$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$