矩阵转换 @
矩阵变换的基本概念 @
矩阵可以看作是一个向量的函数，因此矩阵能够有效地表示各种几何变换。通过不同的矩阵乘法操作，我们可以实现对向量或图形的缩放、旋转、翻转等多种变换效果。
常见的几何变换矩阵 @
1. 缩放变换 @
假设有向量 \(x, y\)，若要将其横坐标扩大 \(a\) 倍，纵坐标扩大 \(b\) 倍，根据矩阵的点乘性质，可以使用以下变换矩阵：
\( \begin{bmatrix}a&0 \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ax \\ by \end{bmatrix} \)
2. 关于x轴的翻转 @
将图形关于x轴翻转，可以通过点乘以下矩阵实现：
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix} \)
3. 关于y轴的翻转 @
将图形关于y轴翻转，可以通过点乘以下矩阵实现：
\( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix} \)
4. 关于原点的翻转 @
将图形关于原点翻转，可以通过点乘以下矩阵实现：
\( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \\ -y \end{bmatrix} \)
5. 沿x方向的错切 @
沿x方向错切变换的矩阵形式如下：
\( \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + ky \\ y \end{bmatrix} \)
其中，(k) 为错切系数。
6. 沿y方向的错切 @
沿y方向错切变换的矩阵形式如下：
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ kx + y \end{bmatrix} \)
其中，(k) 为错切系数。
7. 绕原点的旋转变换 @
将图形绕原点逆时针旋转 (\theta) 角度的变换矩阵如下：
\( \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{bmatrix} \)
单位矩阵 @
如果一个矩阵与另一个矩阵相乘后，矩阵的每一个元素都没有发生变化，则称这个矩阵为单位矩阵，通常记作 (I)。
n阶单位矩阵的形式如下：
\( I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \)
单位矩阵的性质 @
- 单位矩阵的主对角线上的元素全为1，其余元素全为0
- 单位矩阵一定是方阵
- 对于任意矩阵 \(A\)，满足 \(I \cdot A = A\) 且 \(A \cdot I = A\)
矩阵的逆 @
逆矩阵的定义 @
在数字系统中，对于非零数 \(x\)，存在其倒数 \(1/x\)，使得 \(x \cdot (1/x) = 1\)。类似地，在矩阵运算中，设矩阵 \(A\) 和矩阵 \(B\)，如果满足：
\(A \cdot B = B \cdot A = I\)
则称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(B = A^{-1}\)。
逆矩阵的性质与推广 @
- 并不是所有矩阵都存在逆矩阵。如果矩阵 \(A\) 存在逆矩阵，则称 \(A\) 为可逆矩阵或非奇异矩阵(non-singular)；反之，称为不可逆矩阵或奇异矩阵(singular)。
- 对于矩阵 \(A\)，若存在矩阵 \(B\) 使得 \(B \cdot A = I\)，则称 \(B\) 是 \(A\) 的左逆矩阵；若存在矩阵 \(C\) 使得 \(A \cdot C = I\)，则称 \(C\) 是 \(A\) 的右逆矩阵。
- 如果一个矩阵 (A) 既存在左逆矩阵 (B)，又存在右逆矩阵 (C)，则必有 (B = C)。
- 若矩阵 \(A\) 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一。
- 可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆。
- 矩阵的幂运算：\(A^0 = I\)，\(A^{-1}\) 为 \(A\) 的逆矩阵。
- 矩阵的逆的转置等于矩阵的转置的逆，即：\((A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\)