泰勒公式 @
泰勒公式是一个用函数某点的信息描述其附近取值的公式，利用高阶导数来刻画函数的性质，在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用。
核心思想 @
在函数的某个点（记为(x = a)，像一个“支点”）附近，用一个多项式去逼近该函数。从这个点的函数值出发，结合函数在该点的各阶导数信息，逐步构建多项式。
- 函数在该点的值决定多项式的常数项；
- 函数在该点的导数（“斜率”）决定多项式一次项系数，体现函数在该点附近的变化趋势；
- 二阶导数决定二次项系数，反映函数的“弯曲程度”；
- 更高阶导数对应更高次项，将函数更复杂的变化考虑进去，让多项式不断接近原函数。
具体形式 @
- 泰勒多项式：设函数\(f(x)\)，若用\(n\)次多项式近似\(f(x)\)在点\(x_0\)处的情况，该多项式\(P_n(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x - x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n\) ，称为\(f(x)\)在点\(x_0\)处的泰勒多项式。其中\(f^{(k)}(x_0)\)表示\(f(x)\)在\(x_0\)处的\(k\)阶导数，\(k!\)是\(k\)的阶乘。
- 带皮亚诺余项的泰勒公式：若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处\(n\)阶可导，则\(f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)\) ，\(o((x - x_0)^n)\)为皮亚诺型余项，是\((x - x_0)^n\)的高阶无穷小，意味着当\(x\to x_0\)时，余项比\((x - x_0)^n\)更快地趋近于\(0\) 。
- 带拉格朗日余项的泰勒公式：若函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)内有\(n + 1\)阶导数，在\([a,b]\)内有连续的\(n\)阶导数，对\(\forall x\in(a,b)\)，至少存在一点\(\xi\)（\(\xi\)在\(x\)与\(x_0\)之间），使得\(f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k+\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}\) ，\(\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}\)为拉格朗日型余项，给出了用泰勒多项式近似原函数时的误差表达式 。
- 麦克劳林公式：当\(x_0 = 0\)时，上述泰勒公式的特殊形式，如\(f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^n)\) （带皮亚诺余项）和\(f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\frac{f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!}x^{n + 1}\) （\(0\lt\theta\lt1\)，带拉格朗日余项） 。
几何意义 @
- 用多项式函数曲线去逼近原函数曲线。
- 多项式函数容易求导、计算，便于分析函数性质。
- 随着多项式次数增加，多项式函数曲线与原函数曲线在公共点处的“密切”程度提高，逼近效果更好，误差更小。
应用场景 @
- 近似计算：对如\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(e^x\)等难以直接计算取值的函数，通过泰勒公式展开为多项式，计算多项式的值来近似函数值，且展开项越多越精确。比如求\(e^x\)在\(x = 0\)附近的近似值，\(e^x\approx1 + x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\) 。
- 求极限：将函数展开成泰勒公式，通过化简、消去高阶无穷小等操作，利用幂函数性质求极限，关键在于确定合适的展开阶数。
- 研究函数性质：直观呈现函数在某点附近的变化趋势，如增减性、凹凸性等，还可用于判断函数极值点、拐点 。
- 其他领域：物理学中描述运动物体的位置、速度和加速度关系，近似物体运动轨迹；电子工程里用于非线性电路分析，逼近非线性电路行为；经济金融领域，近似描述金融工具价格或收益率变化，推导收益率公式等 。