数的定点表示与浮点表示 @

为什么要引入浮点表示 @

  • 编程困难，程序员要调节小数点的位置

  • 数的表示范围小，为了能表示两个大小相差很大的数据，需要很长的机器字长。

    • 例如：太阳的质量为 $0.210^{34}$ 克，一个电子的质量大约为 $0.910^{-27}$ 克，两者差距为 $10^{61}$ 以上，若用定点数据表示：$2^x > 10^{61}$，解得 $x>203$ 位。

  • 数据存储单元的利用率往往很低。

浮点表示 @

浮点数的表示形式 @

  • Sf 代表浮点数的符号
  • n 其位数反映浮点数的精度
  • m 其位数反映浮点数的表示范围
  • jf 和 m 共同表示小数点的实际位置

浮点数的表示范围 @

上溢： 阶码 > 最大阶码

下溢： 阶码 < 最小解码，按机器零处理

练习 @

设机器数字长为 24 位，欲表示 ±3 万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取 1 位以外，阶码、尾数各取几位？

浮点数的规格化形式 @

  • r=2，尾数最高位为 1
  • r=4，尾数最高 2 位不全为 0
  • r=8，尾数最高 3 位不全为 0

基数不同，浮点数的规格化形式不同。

浮点数的规格化 @

  • r=2

    • 左规，尾数左移一位，阶码减 1
    • 右规，尾数右移一位，阶码加 1

  • r=4

    • 左规，尾数左移两位，阶码减 1
    • 右规，尾数右移两位，阶码加 1

  • r=8

    • 左规，尾数左移三位，阶码减 1
    • 右规，尾数右移三位，阶码加 1

基础 r 越大，可表示的浮点数的范围越大 基数 r 越大，浮点数的精度降低

例题 @

设 m=4，n=10，r=2，尾数规格化后的浮点数表示范围

将 +19/128 写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式。其中数值部分均取 10 位，数符取 1 位，浮点数阶码取 5 位(含一位阶符)，尾数规格化。

19/128 用二进制表示形式，19 每次除 2，小数点向左移动一位。

将-58 表示成二进制定点数和浮点数，并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码为移码、尾数为补码的形式。

机器零 @

  • 当浮点数尾数为 0 时，不论其阶码为何值按机器零处理。
  • 当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小数时，不论尾数为何值，按机器零处理，如 m=4，n=10。
  • 当阶码和尾数都用补码表示时，机器零为 x,xxxx;0.00…0, 阶码=-16: 1,0000;x.xx…x.
  • 当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零为 0,0000;0.00…0,有利于机器中”判 0”电路的实现。

IEEE754 标准 @