泰勒公式 @
泰勒公式是一个用函数某点的信息描述其附近取值的公式，利用高阶导数来刻画函数的性质，在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用。
核心思想 @
在函数的某个点（记为$x = a$，像一个“支点”）附近，用一个多项式去逼近该函数。
从这个点的函数值出发，结合函数在该点的各阶导数信息，逐步构建多项式。
- 函数在该点的值决定多项式的常数项；
- 函数在该点的导数（“斜率”）决定多项式一次项系数，体现函数在该点附近的变化趋势；
- 二阶导数决定二次项系数，反映函数的“弯曲程度”；
- 更高阶导数对应更高次项，将函数更复杂的变化考虑进去，让多项式不断接近原函数。
具体形式 @
- 泰勒多项式：设函数$f(x)$，若用$n$次多项式近似$f(x)$在点$x_0$处的情况，该多项式$P_n(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x - x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$，称为$f(x)$在点$x_0$处的泰勒多项式。其中$f^{(k)}(x_0)$表示$f(x)$在$x_0$处的$k$阶导数，$k!$是$k$的阶乘。
- 带皮亚诺余项的泰勒公式：若函数$f(x)$在$x_0$处$n$阶可导，则$f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)$$，$$o((x - x_0)^n)$为皮亚诺型余项，是$(x - x_0)^n$的高阶无穷小，意味着当$x\to x_0$时，余项比$(x - x_0)^n$更快地趋近于$0$。
- 带拉格朗日余项的泰勒公式：若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内有$n + 1$阶导数，在$[a,b]$内有连续的$n$阶导数，对$\forall x\in(a,b)$，至少存在一点$\xi$$（$$\xi$在$x$与$x_0$之间），使得$f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k+\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$$，$$\frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$为拉格朗日型余项，给出了用泰勒多项式近似原函数时的误差表达式。
- 麦克劳林公式：当$x_0 = 0$时，上述泰勒公式的特殊形式，如$f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^n)$（带皮亚诺余项）和$f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\frac{f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!}x^{n + 1}$$（$$0\lt\theta\lt1$，带拉格朗日余项）。
几何意义 @
- 用多项式函数曲线去逼近原函数曲线。
- 多项式函数容易求导、计算，便于分析函数性质。
- 随着多项式次数增加，多项式函数曲线与原函数曲线在公共点处的“密切”程度提高，逼近效果更好，误差更小。
应用场景 @
- 近似计算：对如$\sin x$、$\cos x$、$e^x$等难以直接计算取值的函数，通过泰勒公式展开为多项式，计算多项式的值来近似函数值，且展开项越多越精确$e^x$在(x = 0)附近的近似值，$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
- 求极限：将函数展开成泰勒公式，通过化简、消去高阶无穷小等操作，利用幂函数性质求极限，关键在于确定合适的展开阶数。
- 研究函数性质：直观呈现函数在某点附近的变化趋势，如增减性、凹凸性等，还可用于判断函数极值点、拐点。
- 其他领域：物理学中描述运动物体的位置、速度和加速度关系，近似物体运动轨迹；电子工程里用于非线性电路分析，逼近非线性电路行为；经济金融领域，近似描述金融工具价格或收益率变化，推导收益率公式等