多元线性回归模型

一般建模步骤 @

1. 数据收集与预处理：收集相关的自变量和因变量数据，并进行清洗、缺失值处理、数据标准化等预处理操作。
2. 模型假设：假设因变量与自变量之间存在线性关系，即$y = \beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}+\cdots+\beta_{n}x_{n}+\epsilon$，其中y是因变量，$x_{i}$是自变量，$\beta_{i}$是待估计的系数，$\epsilon$是误差项。
3. 设定损失函数：通常会选择均方误差（MSE）作为损失函数，用来衡量模型预测值与真实值之间的差异，公式为 $MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$。
4. 模型优化：可以使用梯度下降等优化算法来最小化损失函数，从而不断调整系数的值，使模型的性能得到提升。在梯度下降过程中，根据损失函数对系数的梯度来更新系数，直到损失函数收敛到一个较小的值或者达到预设的迭代次数。
5. 模型评估：使用测试数据集来评估模型的性能，除了均方误差外，还可以计算决定系数$R^{2}$、调整后的$R^{2}$、均方根误差（RMSE）等指标，以全面衡量模型的拟合优度和预测能力。
6. 模型改进与调整：根据评估结果对模型进行改进，如调整自变量的选择、增加多项式特征、采用正则化方法防止过拟合等，然后重复上述步骤，直到得到满意的模型。

代码示例 @

好的，下面我们举一个简单的例子，假设有一个数据集，自变量(X)有两个特征，因变量为(y)，我们使用多元线性回归来建立模型预测因变量的值。

假设我们有如下数据：

以下是使用 Python 代码实现上述建模过程：

import numpy as np

# 生成数据
X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]])
# 在X的第一列插入全为1的列，用于计算截距项
X = np.c_[np.ones(X.shape[0]), X]
y = np.array([5, 7, 9, 11])

# 初始化参数
learning_rate = 0.01
epochs = 1000
theta = np.zeros(X.shape[1])

# 定义均方误差损失函数
def mse_loss(y_true, y_pred):
    return np.mean((y_true - y_pred) ** 2)

# 梯度下降算法
for epoch in range(epochs):
    y_pred = np.dot(X, theta)
    error = y_pred - y
    gradient = np.dot(X.T, error) / len(X)
    theta = theta - learning_rate * gradient

# 输出结果
print("系数：", theta[1:])
print("截距：", theta[0])

# 计算均方误差
y_pred = np.dot(X, theta)
mse = mse_loss(y, y_pred)
print("均方误差：", mse)